Thema: 

Lage und Art von Extrema (hinreichende Kriterien)

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Lage und Art, Bsp 1

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Hier wird das Beispiel 1 aus dem Thema „notwendige Bedingung“ weitergeführt. Wir fragen uns nämlich, ob die dortige Funktion $f$ mit Funktionswerten
$$f(x)=-x^2+2x+1,\;\;\;x\in\mathbb{R}$$
tatsächlich in $x_0=1$ eine Extremstelle besitzt. Und falls das zutrifft, ob es sich dabei um ein Minimum oder Maximum handelt.


Wir wissen also schon, dass die erste Ableitung $f'$ die Nullstelle $x_0=1$ hat. Das fanden wir mit der notwendigen Bedingung für Extrema  heraus. Mit unserer zurechtgelegten hinreichenden Bedingung für Extrema  brauchen wir nun nur noch zusätzlich zu zeigen, dass an dieser Stelle $x_0$ die zweite Ableitung $f''$ gerade keine Nullstelle hat.

Erste und zweite Ableitung lauten
\begin{align}
f'(x)&=-2x+2, \;\;x\in\mathbb{R}\;,\\
f''(x)&=-2, \;\;x\in\mathbb{R}\;.
\end{align}
Und damit müssen wir nun nur noch den Funktionswert $f''(x_0)$ berechnen. Ist er ungleich Null, so ist $x_0=1$ eine Extremstelle. Probieren wir es aus:
$$f''(1)=-2\;{\color{red}{<0}}\;.$$
So ist es! Damit ist $x_0=1$ eine Extremstelle. Und da wir einen Wert kleiner als Null errechnet haben, handelt es sich um ein Maximum.

Lage und Art des Extremums sind nun bestimmt.

 

Erinnerung

Für ein Extremum einer Funktion $f$ in $x_0$ ist 
eine Nullstelle von $f'$ in $x_0$ nur notwendig  und
eine Nullstelle von $f'$  in $x_0$ und ein positiver oder negativer Wert von $f''$ in $x_0$ schon hinreichend.