Thema: 

Lage und Art von Extrema (hinreichende Kriterien)

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Lage und Art, Bsp 3

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Hier wird das Beispiel 3 aus dem Thema „Lage von Extrema (notwendiges Krit.)“ fortgesetzt. Wir fragen uns nämlich, ob die dortige Funktion $f$ mit Funktionswerten
$$f(x)=(x-1)^3,\;\;\;x\in\mathbb{R}$$
tatsächlich in $x_0=1$ eine Extremstelle besitzt. Und falls das zutrifft, ob es sich dabei um ein Minimum oder Maximum handelt.


Wir wissen also schon, dass die erste Ableitung $f'$ die Nullstelle $x_0=1$ hat. Das fanden wir mit der notwendigen Bedingung für Extrema  heraus. Mit unserer zurechtgelegten hinreichenden Bedingung für Extrema  brauchen wir nun nur noch zusätzlich zu zeigen, dass an dieser Stelle $x_0$ die zweite Ableitung $f''$ gerade keine Nullstelle hat.

Erste und zweite Ableitung lauten
\begin{align}
f'(x)&=3(x-1)^2, \;\;x\in\mathbb{R}\;,\\
f''(x)&=6(x-1), \;\;x\in\mathbb{R}\;.
\end{align}
Und damit müssen wir nun nur noch den Funktionswert $f''(x_0)$ berechnen. Ist er ungleich Null, so ist $x_0=1$ eine Extremstelle. Probieren wir es aus:
$$f''(1)=6(1-1)\;{\color{red}{=0}}\;.$$
Aha! Damit ist $x_0=1$ ... ? Ja was? Eine oder Keine Extremstelle?
In diesem Fall — Nullstelle in der zweiten Ableitung in $x_0$ — können wir keine Aussage über die Stelle $x_0$ treffen. Hier versagt unsere bereitgelegte hinreichende Bedingung und hilft uns nicht weiter

Im Video überzeugen wir uns visuell, dass es sich wohl nicht um eine Extremstelle handelt. Aber rechnerisch überprüfen können wir es mit obiger Bedingung nicht.

 

Was nun?

Um rechnerisch weiter zu kommen benötigen wir vielleicht eine andere hinreichende Bedingung. Möglich wäre das. Für diese Funktion $f$ hier müssen wir uns jedoch stattdessen mit Wendestellen auskennen. Denn in $x_0$ liegt eine solche vor. Ein Vorgriff: Eine Wendestelle ist nichts anderes als eine Extremstelle der ersten Ableitung. Bereits diese Information reicht aus, um die Bemerkung über das Vorliegen einer Wendestelle in $x_0=1$ zu verstehen.