Thema: 

Lage und Art von Extrema (hinreichende Kriterien)

Lage und Art von Extrema (1/2)

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Wir sind an dieser Stelle immer noch ein wenig unzufrieden, was die Suche nach den Extremstellen anbelangt. Die „potentielle Lage können wir schon bestimmen. Aber der verflixte Beifang (die Stellen, welche dann doch keine Extrema sind), vermiest uns noch die Laune.

Hier in Teil 1 stimmen wir uns darauf ein, zu prüfen, ob eine gefundene Stelle auch wirklich eine Extremstelle ist. Dazu sehen wir uns Beispiele an und zeigen noch einmal, dass die notwendige Bedingung für ein Extremum an einer Stelle $x_0$ des Definitionsereichs $[\,f'(x_0)=0\,]$ nicht hinreicht, um ein Extremum wirklich zu garantieren.

Anhand der Beispiele und zugehörigen Plots überzeugen wir uns im Video, dass folgender Gedanke weiterhelfen könnte:
Links eines Minimums ist der Anstieg der Funktion negativ
Rechts eines Minimums ist der Anstieg der Funktion positiv
Und analog dazu:
Links eines Maximums ist der Anstieg der Funktion positiv
Rechts eines Maximums ist der Anstieg der Funktion negativ

Und der Anstieg wird mit dem Wert der Ableitung gemessen. Also muss die Ableitung von negativen zu positiven Werten wechseln, wenn ein Minimum an der Stelle $x_0$ vorliegt. Und die Ableitung muss von positiven Werten zu negativen wechseln, wenn ein Maximum an der Stelle $x_0$ vorliegt. 

Die zündende Idee:

Der Vorzeichenwechsel kann mit der zweiten Ableitung bewiesen werden!
(Minimum: $f''(x_0)>0$; Maximum: $f''(x_0)<0$.)  Damit wäre dann geklärt, dass an der Stelle $x_0$ ein Extremum vorliegt und  gleichzeitig auch noch, ob es ein Minimum oder Maximum ist. Das schreiben wir in Teil 2 sauber auf.